Własności i granice ciągów. Granica ciągu. Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności. Posty: 5 • Strona 1 z 1. Definicja: Granica funkcji - Heinego (ciągowa) Funkcja ma granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu , takiego, że jego granicą jest , spełniony jest warunek. Definicja: Granica funkcji - Cauchy'ego. Funkcja ma granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy. Teraz popatrzymy na granice ze strony graficznej, tzn. na wykresie. jak liczyć granice tego typu. Post autor: miodzio1988 » 30 paź 2009, o 22:56. Te sumy trzeba policzyc. Zerknij w necie na hasła: sumę tego ciągu czyli Cześć Mam problem z zadaniami typu: zbadaj ograniczoność ciągu, umiem liczyć granice, wiem na czym polega ta ograniczoność, ale nie wiem jak ją policzyć, mam ta Matematyka.pl Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego: a_1. Różnica ciągu geometrycznego: q. Definicja ciągu geometrycznego: Kolejny wyraz ciągu geometrycznego powstaje po pomnożenie poprzedniego wyrazu przez iloraz q. Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Wzór ogólny ciągu geometrycznego. Suma n wyrazów ciągu geometrycznego. W przypadku oficerów zarobki zaczynają się od 205 zł dla podporucznika i rosną do 615 zł dla generała. Zarobki w korpusie oficerów w WOT: Dodatkowo, w każdym miesiącu, jeśli żołnierz WOT wysłuży przynajmniej 2 dni, nabywa prawo do dodatku za gotowość bojową. Żołnierz WOT może otrzymać go nie więcej niż raz w miesiącu. A) W liczniku po rozwinięciu wzoru: n^2+2n+1. W liczniku przy n mamy taką samą najwyższą potęgę jak w mianowniku. Liczby przy tych potęgach dzielimy przez siebie i mamy gotową granicę. Tutaj wynosi on 1/1, czyli 1. b) Analogicznie: -8/2, czyli -4 c) Analogicznie i tutaj: -7/2, czyli-3.5 Własności i granice ciągów. Granica ciągu. Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności. Wobec tego jak wygląda n-ty Odpowiedzi: Tak, granica istnieje. Wynik działania 4 + 5 =. Granicami jednostronnymi funkcji w punkcie nazywamy granice prawostronną oraz lewostronną tej funkcji w tym punkcie. Są one zdefiniowane następująco: Def.: Liczba jest granicą prawostronną funkcji w punkcie jeśli dla każdego ciągu zbieżnego do o wyrazach ciąg jest zbieżny 1. 1 Krok indukcyjny. Sprawdzamy prawdziwość wzoru dla n=1: Zgadza się. 2 Krok indukcyjny. Przyjmujemy założenie, że dla pewnego naturalnego n: 3 Krok indukcyjny. Wykazujemy tezę (korzystając z przyjętego założenia), że dla n+1 wzór także zachodzi, tzn: Po lewej stronie zamiast wstawiam formułę z założenia, po prawej po prostu CvJzyR. W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości. W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}}\) Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }b_n=b}\). Wtedy zachodzą poniższe równości: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=a+b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b}\) O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}}\) Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone (to znaczy, istnieje stała \(\displaystyle{ M}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(2') } \lim_{ n\to \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(3) } \lim_{ n\to \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(4) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(5) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(6) } \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n =e}\) \(\displaystyle{ \mbox{TW. 11}}\) Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o niezerowych wyrazach spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g}\), wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g}\) Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż") \(\displaystyle{ \mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}}\) \(\displaystyle{ \mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{5. }a_n= \left( \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3}\) \(\displaystyle{ \mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n}}\) dla \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ k>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}}\) \(\displaystyle{ \mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{20. }a_n= \left( \frac{n+5}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}}\) \(\displaystyle{ \mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{28. }a_n= \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}}\) Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach". Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352